いちのみやゆき”です
渡世上の行き掛かりで経済学の研究にまでチョッカイだしてました
“導入編”として、タイムトラベルしたという摩訶不思議な話から
ゆきの独断と偏見で自由に“隅谷・長島理論”を中心に”ゆきちゃんでも分かる経済学”を紹介していきたいと思っています。
まず、理論のさわりというか、“隅谷・長島理論”およびそのモデル化がテーマですが、その理解のための初歩の初歩で、本題とは直接的には関係ないような行き掛けの駄賃的なことから紹介しておきますね。興味を持っていただけたら、本題の方にも目を通してください。隅谷先生のお言葉のようですが、“理論はシンプルであってこそ価値がある”とのこと。数式等も出てきますが、高校一年生程度の数学知識で読みこなせるようにしたいと思っています。恐らく隅谷・長島理論の数式モデルってのを理解するのは意外に簡単なのですが、深く考え過ぎてしまうと数学の大御所さん方でさえ難解かも。なにせ、研究会の方がタイムトラベルして50年後の未来へ行き、そこで学んできた数学理論（variable unit partial differential)なんてものまで使っちゃってますから。
以下、研究仲間のゆきを揶揄うことが大好きなご老人とのメールでのやりとりのほんの一部ですが、それを読み易い様に対談形式として編集(再構成）しました。
・・・・・・・・
ゆき：未来へ行かれとのことですが、何か証拠ってないですか？
時駆老人さん：証拠と言えるかどうかは知りませんが、経済学の授業やゼミナールなんかにも出ていましたが、その時に学んだことが証拠といえば証拠なのかも。経済学とはこういうものだったのかと目から鱗でした。内容的に現代とはかなり違います。
例えば、経済学の基礎とも言える価格理論というか不完全競争理論なんかは、統合され理論ぽくなっていました。
未来ではこんな方程式を使って価格理論が教えられているのです。
P＝(a+ kC)/(k＋1）
これが、価格理論の統合方程式です。
この方程式は拡張性が高く無限に展開でき、様々な産業と企業が関わる複雑な競争システムにまで展開できるのですが、それが正に隅谷・長島理論のモデル式でした。早々で恐縮ですが、先ずは理解し易い様に、単純化のため1業種からなるシステムの2者競争にこの式を展開すると、
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1) ・・・式1
となります。尚、本論との一貫性を保つため、01、02と言うサフィックスをつけておきます。例えば、
企業01の供給数は、q01＝k01[a－Ⅽ01+k02(Ⅽ02－Ⅽ01)]/(k01+k02+1) ・・・式2
企業01の利潤なら、π01＝k01[a－Ⅽ01+k02(Ⅽ02－Ⅽ01)]²／(k01+k02+1)² ・・・式3 と表現できます。
需要関数を、価格P、定数a＝100 、 数量q として、 P＝a－q=100－q、企業01の単位費用C01＝50、企業02の単位費用をⅭ02＝60とします。
そうしますと、クールノーの解は、k01＝1、k02＝1となります。kはかなり厄介な概念なのですが、先ずは競争パラメーターとでもしておきます。
式1に数値を代入して解を求めると、
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1) ＝(100+1＊50＋1＊60)/(1＋1＋1)＝70
と計算できます。上記の式2より企業01の供給数q01＝20、式3より企業01の利潤π01＝400と計算できます。
シュタッケルベルグの企業01主導、企業02追随でしたら、k01＝2、k02＝1となり
P＝(100+2＊50＋1＊60)/(2＋1＋1)＝65
企業01の供給数q01=30、企業01の利潤π01＝450です。
逆に企業01追随、企業02主導でしたら、k01＝1、k02＝2となり
P＝(100+1＊50+2＊60)/(1+2+1)＝67.5
企業01の供給数q01=17.5、企業01の利潤π01＝306.25です。
ゲーム論の場合は、k01+k02＝1の関係がキーになります。
“ナッシュの解、再配分なし”ならば、それぞれ企業の独占時の利潤は、π01＝625、π02＝400ですので、交渉点は、
k01＝π01/(π01+π02)＝25/41、
K02＝π02/(π01+π02)＝16/41、
威嚇点はC01=50，C02=60の場合ですが、
K01＝(4π01+6π02)/(π01+π02)＝196/41、
K02＝(－3π01－5π02)/(π01+π02)＝－155/41
補足：例えば、C01=50、C02＝58なら、威嚇点はk01＝(5.25π01+7.25π02)/(π01+π02)、k02＝(－4.25π01－6.25π02)/(π01+π02)の様に変化。尚、k01＝(e11π01+e12π02)/(π01+π02)、k02＝(e21π01+e22π02)/(π01+π02)とすると、e11+e21＝1、e12+e22＝1、e11+e22＝－1の関係にあり、且つe11＝(100－Ⅽ02)/(Ⅽ02－Ⅽ01)、e22＝(100－Ⅽ01)/(Ⅽ01－Ⅽ02)。
これらを、同じく P＝(a+k01C 01+k02C02)/(k01+k02+1) の式に代入することによって解(交渉点）を得ることができます。
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1)＝3155/41≒76.95
Π01＝30,525,625/68,921≒442.91、
Π02＝7,728,400/68,921≒112.13
です。
威嚇点を求めるとk01＝196/41、k02＝－155/41で価格P=2300/41≒56.10。交渉点、威嚇点ともk０1＋k02＝1の関係にあります。威嚇点におけるそれぞれの利潤である
π01＝12,250,000/68,921≒177.74、
π02＝－3,968,000/68,921≒－57.57
を起点に、利潤増加分を独占時の利潤の比である25：16で両者に配分すると、利潤フロンティア（k01+k02=1の関係を満たす）上にある交渉点に至ることになります。威嚇点から交渉点に至るまでの利潤の増分はそれぞれ、
企業01の利潤増18,275,625/68,921＝25*731,025/68,921≒265.17、
企業02の利潤増11,696,400/68,921＝16*731,025/68,921≒169.71
となり、利潤増分は25：16の比です。
ゆき：私、グータラ学生で経済学をハンパにしか学んでいませんでしたが、価格理論を齧ったことは有ります。微分だとか偏微分だとかの計算で、数学のお勉強みたいな感じでした。最近、お手伝いしている内に少しわかるようになった気になってきましたが。
この理論でしたら、なんだか直感的に分かるような気がします。なんかゲーム論も分かったような気がしないこともないですね。
なにか他に面白い理論とかありましたか？
時駆老人さん：ゼミナールというか少人数講義でのことですが、ゲーム論っぽい理論の演習でしたが、そこで、利潤フロンティアをテーマに討議があったのですが、その時に示された利潤フロンティアの方程式の複雑さが印象深かったです。三角関数が複雑に入り混じった、お目にかかったことが無い様な式だったのが印象的でした。この前、ゆきちゃんが私のうろ覚えの方程式を再現して、検証し、更にはコンピューターシミュレションで描いてくれたやつです。
ゆき：意外に簡単に再現できましたよ。関係式（統合方程式）から計算して求めることが出来ましたから。それと、お言葉ですが、あれって単にk01+k02＝1の条件を使って、エクセルで実数計算してプロットしただけです。その際に求めた両者の利潤を“お目にかかったことが無い様な方程式”に代入しましたら、両者はある意味では完璧に一致していました。ただ、関係式では単にkの連続的な変化(0≦k01≦6)に過ぎないのですが、利潤フロンティア（0≦k01≦2）とMinMax曲線（2≦k01≦6）は別々の方程式として表記されるんです。
注：利潤フロンティアの複雑な方程式及びMinMax曲線
ⅽosω＝(π01－400)/400として、
利潤フロンティア曲線
π02＝400｛4cos[(ω－180)/3]－3｝*cos[(ω－180)/3]²
MinMax曲線
π02＝400｛4cos[(ω＋180)/3]－3｝*cos[(ω＋180)/3]²
を含む資料を添付しておきます。
補足：ゲーム論.pdf
それから、利潤フロンティアの数式ですが、コスト条件が同一なら単なる直線ですから表記できますが、コスト条件が異なると原点に対して凸の曲線になるのですが、現代数学ではあの“お目にかかったことが無い様な方程式”を導くことはできそうにありませんでした。現代数学では導けないかも。それか単なるゆきの勉強不足に過ぎないのかも知れませんが。
時駆老人さん：ゆきちゃんが現代数学では導けないのなら、導ける人はいないのかも。ともあれ、ゆきちゃんにお礼を言いませんとね。
ゆき：ゼミナールで利潤フロンティアに関してどんな講義とか議論なんかがされていたのですか？
時駆老人さん：印象深かったのが、TN線と利潤フロンティアとが交差するところが、交渉点となりますが、これが交点なのか、それとも接点なのかなんて言う議論なんかもありました。
ゆき：そんなのってどうでも良さそうなことの様に思ったのですが、結構意味深で、TN線ってのがどういう意味を持っていたのかが分かった気がします。
時駆老人さん：意味のある論点だったのかも。ゆきちゃんに描いて貰った図で、曲線のTN線(添付ファイルの“利潤フロンティア＋MinMax図”のp.3参照ください)が有りましたでしょ、あれって、威嚇点から出発して、交渉点に接し、そして原点に至っていましたよね。あれって、交渉点に接していましたよね？
ゆき：接していますね。
時駆老人さん：直線のTN線の場合ですが、あれって、条件に従って延長すると、交渉点で跳ね返され、逆戻りして威嚇点に舞い戻り、供給数は負になりますが、そのまま直線的にどこまでも行ってしまいます。ここでの条件がポイントになりますが、それが威嚇点におけるそれぞれの供給数
q01＝49,000/1681≒29,149、
q02＝24,800/1681≒14,753
を起点にして、25対16の比で減産していくというとこです。企業01の減産1に対し、企業02は0.64減産するのですが、それが利潤配分の比とも一致しているのです。交渉点での供給数は、
q01＝27,625/1681≒16.434、
q02＝11,120/1681≒6.6151
となり、それぞれ
企業01の供給減21,375/1681＝25*855≒12.716、
企業02の供給源13,680/1681＝16*855≒8.138
の減産となり、減産比は25対16です。
それが、ディスプレイに、プロットされていき、軌跡として描かれていくのですが、2パターンが例示されたのですが、一つは“ナッシュの解、再配分なし”の直線のTN線で、もう一つがシェア一定の曲線です。いずれも威嚇点の供給数を基準にして：－
そこから1対0.64の比で減産していくと、それぞれの利潤が計算され、それがプロットされると傾き16/25の直線のTN線となります。
一方、シェア一定(企業01シェアψ1＝70％、企業02シェアψ2＝30％)のもとで減産していくと威嚇点(π01≒197.29、π02≒－46.02)からスタートし、交渉点(π01≒434,62、π02≒117.34)に接し、原点(π01＝0、π02＝0)に行く曲線がプロットされるのです。シェア一定行動における利潤最大化条件(1－ψ)は、企業01の場合k01＝1－ψ01＝0.7（尚、k02＝0.5)、企業02はk02＝0.3（尚、k01＝7/15≒0.46667)で与えられますが、交渉点は両者のそれぞれの利潤最大化条件の間のk01+k02＝1を満たすk01≒0.59513、k02≒0.40487に存在します。
ゆき： TN線の傾き（16/25）の意味が単に利潤配分のみではなく、減産比でもあると言うことは意外でした。そのことをナッシュさんは気付いて無かったかも知れませんね。なにしろ、その条件を付与すると、交渉点を計算できるのですが、交渉点の計算をナッシュさんはできなかったようですし。
それと、TN線は減産によってプロットする方が直感的に分かりやすく、且つ連続性があって現実社会でも協調減産によって交渉点にまで達し易そうです。
それと、シェア一定で減産と言う方も話がまとまり易そうですね。でも、シェア一定の場合って、企業01の利潤最大化と企業02のそれとが不一致ですから、交渉点で決着させるのって少々厄介そうですね。おまけに、関係式で見ると連続的でも、現代数学に基づくシェア一定行動の曲線の方程式では企業01の利潤最大化のところで、方程式が一応は連続的ですが変化しちゃいますし。
時駆老人さん：ところで、ゆきちゃんが学んだ価格理論って、均衡とかで或る特殊な点を計算して求めるものだったかと思いますが、未来の価格理論って、利潤フロンティア内の全ての面が対象とされるのですね。点から線や更には面への拡張です。例えば、シュタッケルベルグの解にしても、理論が拡張されていました。
ゆき：あの拡張って面白い理論ですね。我々が学んだシュタッケルベルグの解って、どうも誤った解のようです。コスト条件が同一でなければ、成り立たないというか、均衡としての安定性に欠如していますし。
あの時は下手な指摘をしてお手数をかけちゃいましたね。
時駆老人さん：あれは、私の理解が不完全というか曖昧だったせいです。ゆきちゃんの反論と指摘でやっと私もそれなりに分かるように成ったってところです。
現代数学では主導的行動とか追随的行動というのを計算できないのですね。未来ですと、シュタットベルグの主導の条件が、例えば企業1主導なら k01＝k02+1と表現でき、且つ、kは－∞～＋∞の任意の実数値を採れます。それに対して、現代経済学では数学的制約からか、二者競争なら主導k01＝2、追随k02＝1とかの値しか採れないのです。それも特殊な場合にしか均衡とは言えそうにないですし。
ゆき：でも、それが成り立たないというか不安定であるって事さえ、現代数学に基づく現代経済学では分からないんですよね。
唯一成り立ったのが、コスト条件が同一の場合でした。例えば、両者の単位コストⅭ01＝Ⅽ02＝50として、k01＝k02+1の条件で、k02を0から∞まで変化させると、ちょっと横道に逸れますが、kの値如何に関わらず、企業01の供給数q01って25で一定なのですね。何かの間違えかなと思って、念のため上記のq01の関係式に、Ⅽ01=Ⅽ02、および、k02＝k01－1を代入して計算しましたら、k01は消去されて、
q01＝(a－Ⅽ01)/2＝(100－50)/2＝25
ってなるんです。企業01の供給数ってkの変化の影響を受けないんです。
話を戻しますと、k02を増加させることによって、企業02の供給数は増加、それと共に価格は下がるのですが、企業02の利潤はk02＝1の時に最大化するので、追随的行動における均衡ってのがk02＝1、k01＝2でも意味がありそうだったのですが、両者のコスト条件が異なると、追随としての利潤最大化ってのが、かなり異なったところに有るんです。
例えば、企業02主導、企業01追随とすると、先に例示したように、k01＝1、k02＝2ならπ01＝306.25、π02＝112.5ってなるのですが、これを起点にして、k01の値を増加させると、k02もそれに伴いk02＝k01+1の関係で変化していきますが、企業01の利潤は増加し続けていき、k01＝4、k02＝5の時に企業01の利潤はπ01＝400となり最大化します。尚、π02＝0です。これが、競争的独占とでもいうべき様な安定的な解になりそうです。
それに対して、逆に企業02追随、企業01主導とすると、追随としての利潤が最大化する条件ってのが有って、k02＝2√3－3≒0.4641が条件となり、ここで均衡となると言えそうです。k01＝2、k02＝1に比べ、企業01の利潤は450から509.02へと増加し、一方、企業02の利潤は25から34.81に増加し、且つ、企業02の利潤は最大化します。
ところで、一番厄介なとこですが、kの概念について、少し補足していただけませんか。
時駆老人さん：私の理解が正しいのかどうかは定かじゃありませんし、私よりゆきちゃんの方がより理解できているようですが、私なりの理解に従って補足しておきますと：－
例えば、k01=4、k02＝5と言うのは、企業01と同じコスト条件の企業が4者、企業02と同じコスト条件を持つ企業が5者あり、この計9者がクールノー的な利潤最大化行動をとった時の市場均衡を求めれば解が得られます。企業01と同じコスト条件の企業4者の供給数はそれぞれ10となり合計40、利潤はそれぞれ100で、併せて企業01の利潤π01＝400、供給数q01＝40となります。一方、企業02と同じコスト条件を持つ企業5者の供給数はいずれも0、利潤も0です。
kの値の意味とは、クールノー的行動に換算して何者に相当するのかと言う意味です。そして、その値が－∞から＋∞まで任意の実数と採れるのです。－0.3とか1.85とか自由に実数値を採れます。例えば、企業02が1.2としますと、企業01の主導としての最大化条件は2.2となります。例えば、k01＝2.19とかk01＝2.21では利潤はk01＝2.2に比し減少し、k01＝2.2が企業01にとっての主導としての最大化条件となります。
ゆき：ここが現代数学を超越してしまっているので、理解するのが厄介なポイントですね。正の整数倍は理解しやすいですが、0.3倍とかの小数や負の数値になると頭がこんがらがっちゃいました。おまけに、例えば、一方が0.3で他方が0.7とかで計1になると、現代数学における微分（偏微分）の解に似たものとなり、両者を併せた最大(極大)化条件が得られたりするのですから。摩訶不思議です。
時駆老人さん：そうですね。でもこの超・現代数学を使って初めて、50年前に作られた隅谷・長島理論のモデル化が可能となるのです。
隅谷・長島理論では、需要(利潤)関数が線から曲面に拡張され、且つ、ダイナミックな動きをしますから、現代数学ではモデル化はできそうにありません。
・・・・・・・・・
求む！反論
果たして、このご老人はゆきを揶揄っているだけなのでしょうか？それともほんとにタイムトラベルして未来で勉強してきたのでしょうか？その答えはこのご老人の理論が現代のものなのか、それとも本当に未来のものなのかどうかに掛かっていると思います。論点を「理論が未来のものなのか、それとも現代のものなのか」に絞りたいと思います。
求む反論：
この老人の理論を未来ではなく現代のものだと立証できますか？例えば、あの利潤フロンティアの方程式が現代数学で導けるのかなど。
まず、理論のさわりというか、“隅谷・長島理論”およびそのモデル化がテーマですが、その理解のための初歩の初歩で、本題とは直接的には関係ないような行き掛けの駄賃的なことから紹介しておきますね。興味を持っていただけたら、本題の方にも目を通してください。隅谷先生のお言葉のようですが、“理論はシンプルであってこそ価値がある”とのこと。数式等も出てきますが、高校一年生程度の数学知識で読みこなせるようにしたいと思っています。恐らく隅谷・長島理論の数式モデルってのを理解するのは意外に簡単なのですが、深く考え過ぎてしまうと数学の大御所さん方でさえ難解かも。なにせ、研究会の方がタイムトラベルして50年後の未来へ行き、そこで学んできた数学理論（variable unit partial differential)なんてものまで使っちゃってますから。
以下、研究仲間のゆきを揶揄うことが大好きなご老人とのメールでのやりとりのほんの一部ですが、それを読み易い様に対談形式として編集(再構成）しました。
・・・・・・・・
ゆき：未来へ行かれとのことですが、何か証拠ってないですか？
時駆老人さん：証拠と言えるかどうかは知りませんが、経済学の授業やゼミナールなんかにも出ていましたが、その時に学んだことが証拠といえば証拠なのかも。経済学とはこういうものだったのかと目から鱗でした。内容的に現代とはかなり違います。
例えば、経済学の基礎とも言える価格理論というか不完全競争理論なんかは、統合され理論ぽくなっていました。
未来ではこんな方程式を使って価格理論が教えられているのです。
P＝(a+ kC)/(k＋1）
これが、価格理論の統合方程式です。
この方程式は拡張性が高く無限に展開でき、様々な産業と企業が関わる複雑な競争システムにまで展開できるのですが、それが正に隅谷・長島理論のモデル式でした。早々で恐縮ですが、先ずは理解し易い様に、単純化のため1業種からなるシステムの2者競争にこの式を展開すると、
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1) ・・・式1
となります。尚、本論との一貫性を保つため、01、02と言うサフィックスをつけておきます。例えば、
企業01の供給数は、q01＝k01[a－Ⅽ01+k02(Ⅽ02－Ⅽ01)]/(k01+k02+1) ・・・式2
企業01の利潤なら、π01＝k01[a－Ⅽ01+k02(Ⅽ02－Ⅽ01)]²／(k01+k02+1)² ・・・式3 と表現できます。
需要関数を、価格P、定数a＝100 、 数量q として、 P＝a－q=100－q、企業01の単位費用C01＝50、企業02の単位費用をⅭ02＝60とします。
そうしますと、クールノーの解は、k01＝1、k02＝1となります。kはかなり厄介な概念なのですが、先ずは競争パラメーターとでもしておきます。
式1に数値を代入して解を求めると、
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1) ＝(100+1＊50＋1＊60)/(1＋1＋1)＝70
と計算できます。上記の式2より企業01の供給数q01＝20、式3より企業01の利潤π01＝400と計算できます。
シュタッケルベルグの企業01主導、企業02追随でしたら、k01＝2、k02＝1となり
P＝(100+2＊50＋1＊60)/(2＋1＋1)＝65
企業01の供給数q01=30、企業01の利潤π01＝450です。
逆に企業01追随、企業02主導でしたら、k01＝1、k02＝2となり
P＝(100+1＊50+2＊60)/(1+2+1)＝67.5
企業01の供給数q01=17.5、企業01の利潤π01＝306.25です。
ゲーム論の場合は、k01+k02＝1の関係がキーになります。
“ナッシュの解、再配分なし”ならば、それぞれ企業の独占時の利潤は、π01＝625、π02＝400ですので、交渉点は、
k01＝π01/(π01+π02)＝25/41、
K02＝π02/(π01+π02)＝16/41、
威嚇点はC01=50，C02=60の場合ですが、
K01＝(4π01+6π02)/(π01+π02)＝196/41、
K02＝(－3π01－5π02)/(π01+π02)＝－155/41
補足：例えば、C01=50、C02＝58なら、威嚇点はk01＝(5.25π01+7.25π02)/(π01+π02)、k02＝(－4.25π01－6.25π02)/(π01+π02)の様に変化。尚、k01＝(e11π01+e12π02)/(π01+π02)、k02＝(e21π01+e22π02)/(π01+π02)とすると、e11+e21＝1、e12+e22＝1、e11+e22＝－1の関係にあり、且つe11＝(100－Ⅽ02)/(Ⅽ02－Ⅽ01)、e22＝(100－Ⅽ01)/(Ⅽ01－Ⅽ02)。
これらを、同じく P＝(a+k01C 01+k02C02)/(k01+k02+1) の式に代入することによって解(交渉点）を得ることができます。
P＝(a+k01C01+k02C02)/(k01+k02+1)＝3155/41≒76.95
Π01＝30,525,625/68,921≒442.91、
Π02＝7,728,400/68,921≒112.13
です。
威嚇点を求めるとk01＝196/41、k02＝－155/41で価格P=2300/41≒56.10。交渉点、威嚇点ともk０1＋k02＝1の関係にあります。威嚇点におけるそれぞれの利潤である
π01＝12,250,000/68,921≒177.74、
π02＝－3,968,000/68,921≒－57.57
を起点に、利潤増加分を独占時の利潤の比である25：16で両者に配分すると、利潤フロンティア（k01+k02=1の関係を満たす）上にある交渉点に至ることになります。威嚇点から交渉点に至るまでの利潤の増分はそれぞれ、
企業01の利潤増18,275,625/68,921＝25*731,025/68,921≒265.17、
企業02の利潤増11,696,400/68,921＝16*731,025/68,921≒169.71
となり、利潤増分は25：16の比です。
ゆき：私、グータラ学生で経済学をハンパにしか学んでいませんでしたが、価格理論を齧ったことは有ります。微分だとか偏微分だとかの計算で、数学のお勉強みたいな感じでした。最近、お手伝いしている内に少しわかるようになった気になってきましたが。
この理論でしたら、なんだか直感的に分かるような気がします。なんかゲーム論も分かったような気がしないこともないですね。
なにか他に面白い理論とかありましたか？
時駆老人さん：ゼミナールというか少人数講義でのことですが、ゲーム論っぽい理論の演習でしたが、そこで、利潤フロンティアをテーマに討議があったのですが、その時に示された利潤フロンティアの方程式の複雑さが印象深かったです。三角関数が複雑に入り混じった、お目にかかったことが無い様な式だったのが印象的でした。この前、ゆきちゃんが私のうろ覚えの方程式を再現して、検証し、更にはコンピューターシミュレションで描いてくれたやつです。
ゆき：意外に簡単に再現できましたよ。関係式（統合方程式）から計算して求めることが出来ましたから。それと、お言葉ですが、あれって単にk01+k02＝1の条件を使って、エクセルで実数計算してプロットしただけです。その際に求めた両者の利潤を“お目にかかったことが無い様な方程式”に代入しましたら、両者はある意味では完璧に一致していました。ただ、関係式では単にkの連続的な変化(0≦k01≦6)に過ぎないのですが、利潤フロンティア（0≦k01≦2）とMinMax曲線（2≦k01≦6）は別々の方程式として表記されるんです。
注：利潤フロンティアの複雑な方程式及びMinMax曲線
ⅽosω＝(π01－400)/400として、
利潤フロンティア曲線
π02＝400｛4cos[(ω－180)/3]－3｝*cos[(ω－180)/3]²
MinMax曲線
π02＝400｛4cos[(ω＋180)/3]－3｝*cos[(ω＋180)/3]²
を含む資料を添付しておきます。
補足：ゲーム論.pdf
それから、利潤フロンティアの数式ですが、コスト条件が同一なら単なる直線ですから表記できますが、コスト条件が異なると原点に対して凸の曲線になるのですが、現代数学ではあの“お目にかかったことが無い様な方程式”を導くことはできそうにありませんでした。現代数学では導けないかも。それか単なるゆきの勉強不足に過ぎないのかも知れませんが。
時駆老人さん：ゆきちゃんが現代数学では導けないのなら、導ける人はいないのかも。ともあれ、ゆきちゃんにお礼を言いませんとね。
ゆき：ゼミナールで利潤フロンティアに関してどんな講義とか議論なんかがされていたのですか？
時駆老人さん：印象深かったのが、TN線と利潤フロンティアとが交差するところが、交渉点となりますが、これが交点なのか、それとも接点なのかなんて言う議論なんかもありました。
ゆき：そんなのってどうでも良さそうなことの様に思ったのですが、結構意味深で、TN線ってのがどういう意味を持っていたのかが分かった気がします。
時駆老人さん：意味のある論点だったのかも。ゆきちゃんに描いて貰った図で、曲線のTN線(添付ファイルの“利潤フロンティア＋MinMax図”のp.3参照ください)が有りましたでしょ、あれって、威嚇点から出発して、交渉点に接し、そして原点に至っていましたよね。あれって、交渉点に接していましたよね？
ゆき：接していますね。
時駆老人さん：直線のTN線の場合ですが、あれって、条件に従って延長すると、交渉点で跳ね返され、逆戻りして威嚇点に舞い戻り、供給数は負になりますが、そのまま直線的にどこまでも行ってしまいます。ここでの条件がポイントになりますが、それが威嚇点におけるそれぞれの供給数
q01＝49,000/1681≒29,149、
q02＝24,800/1681≒14,753
を起点にして、25対16の比で減産していくというとこです。企業01の減産1に対し、企業02は0.64減産するのですが、それが利潤配分の比とも一致しているのです。交渉点での供給数は、
q01＝27,625/1681≒16.434、
q02＝11,120/1681≒6.6151
となり、それぞれ
企業01の供給減21,375/1681＝25*855≒12.716、
企業02の供給源13,680/1681＝16*855≒8.138
の減産となり、減産比は25対16です。
それが、ディスプレイに、プロットされていき、軌跡として描かれていくのですが、2パターンが例示されたのですが、一つは“ナッシュの解、再配分なし”の直線のTN線で、もう一つがシェア一定の曲線です。いずれも威嚇点の供給数を基準にして：－
そこから1対0.64の比で減産していくと、それぞれの利潤が計算され、それがプロットされると傾き16/25の直線のTN線となります。
一方、シェア一定(企業01シェアψ1＝70％、企業02シェアψ2＝30％)のもとで減産していくと威嚇点(π01≒197.29、π02≒－46.02)からスタートし、交渉点(π01≒434,62、π02≒117.34)に接し、原点(π01＝0、π02＝0)に行く曲線がプロットされるのです。シェア一定行動における利潤最大化条件(1－ψ)は、企業01の場合k01＝1－ψ01＝0.7（尚、k02＝0.5)、企業02はk02＝0.3（尚、k01＝7/15≒0.46667)で与えられますが、交渉点は両者のそれぞれの利潤最大化条件の間のk01+k02＝1を満たすk01≒0.59513、k02≒0.40487に存在します。
ゆき： TN線の傾き（16/25）の意味が単に利潤配分のみではなく、減産比でもあると言うことは意外でした。そのことをナッシュさんは気付いて無かったかも知れませんね。なにしろ、その条件を付与すると、交渉点を計算できるのですが、交渉点の計算をナッシュさんはできなかったようですし。
それと、TN線は減産によってプロットする方が直感的に分かりやすく、且つ連続性があって現実社会でも協調減産によって交渉点にまで達し易そうです。
それと、シェア一定で減産と言う方も話がまとまり易そうですね。でも、シェア一定の場合って、企業01の利潤最大化と企業02のそれとが不一致ですから、交渉点で決着させるのって少々厄介そうですね。おまけに、関係式で見ると連続的でも、現代数学に基づくシェア一定行動の曲線の方程式では企業01の利潤最大化のところで、方程式が一応は連続的ですが変化しちゃいますし。
時駆老人さん：ところで、ゆきちゃんが学んだ価格理論って、均衡とかで或る特殊な点を計算して求めるものだったかと思いますが、未来の価格理論って、利潤フロンティア内の全ての面が対象とされるのですね。点から線や更には面への拡張です。例えば、シュタッケルベルグの解にしても、理論が拡張されていました。
ゆき：あの拡張って面白い理論ですね。我々が学んだシュタッケルベルグの解って、どうも誤った解のようです。コスト条件が同一でなければ、成り立たないというか、均衡としての安定性に欠如していますし。
あの時は下手な指摘をしてお手数をかけちゃいましたね。
時駆老人さん：あれは、私の理解が不完全というか曖昧だったせいです。ゆきちゃんの反論と指摘でやっと私もそれなりに分かるように成ったってところです。
現代数学では主導的行動とか追随的行動というのを計算できないのですね。未来ですと、シュタットベルグの主導の条件が、例えば企業1主導なら k01＝k02+1と表現でき、且つ、kは－∞～＋∞の任意の実数値を採れます。それに対して、現代経済学では数学的制約からか、二者競争なら主導k01＝2、追随k02＝1とかの値しか採れないのです。それも特殊な場合にしか均衡とは言えそうにないですし。
ゆき：でも、それが成り立たないというか不安定であるって事さえ、現代数学に基づく現代経済学では分からないんですよね。
唯一成り立ったのが、コスト条件が同一の場合でした。例えば、両者の単位コストⅭ01＝Ⅽ02＝50として、k01＝k02+1の条件で、k02を0から∞まで変化させると、ちょっと横道に逸れますが、kの値如何に関わらず、企業01の供給数q01って25で一定なのですね。何かの間違えかなと思って、念のため上記のq01の関係式に、Ⅽ01=Ⅽ02、および、k02＝k01－1を代入して計算しましたら、k01は消去されて、
q01＝(a－Ⅽ01)/2＝(100－50)/2＝25
ってなるんです。企業01の供給数ってkの変化の影響を受けないんです。
話を戻しますと、k02を増加させることによって、企業02の供給数は増加、それと共に価格は下がるのですが、企業02の利潤はk02＝1の時に最大化するので、追随的行動における均衡ってのがk02＝1、k01＝2でも意味がありそうだったのですが、両者のコスト条件が異なると、追随としての利潤最大化ってのが、かなり異なったところに有るんです。
例えば、企業02主導、企業01追随とすると、先に例示したように、k01＝1、k02＝2ならπ01＝306.25、π02＝112.5ってなるのですが、これを起点にして、k01の値を増加させると、k02もそれに伴いk02＝k01+1の関係で変化していきますが、企業01の利潤は増加し続けていき、k01＝4、k02＝5の時に企業01の利潤はπ01＝400となり最大化します。尚、π02＝0です。これが、競争的独占とでもいうべき様な安定的な解になりそうです。
それに対して、逆に企業02追随、企業01主導とすると、追随としての利潤が最大化する条件ってのが有って、k02＝2√3－3≒0.4641が条件となり、ここで均衡となると言えそうです。k01＝2、k02＝1に比べ、企業01の利潤は450から509.02へと増加し、一方、企業02の利潤は25から34.81に増加し、且つ、企業02の利潤は最大化します。
ところで、一番厄介なとこですが、kの概念について、少し補足していただけませんか。
時駆老人さん：私の理解が正しいのかどうかは定かじゃありませんし、私よりゆきちゃんの方がより理解できているようですが、私なりの理解に従って補足しておきますと：－
例えば、k01=4、k02＝5と言うのは、企業01と同じコスト条件の企業が4者、企業02と同じコスト条件を持つ企業が5者あり、この計9者がクールノー的な利潤最大化行動をとった時の市場均衡を求めれば解が得られます。企業01と同じコスト条件の企業4者の供給数はそれぞれ10となり合計40、利潤はそれぞれ100で、併せて企業01の利潤π01＝400、供給数q01＝40となります。一方、企業02と同じコスト条件を持つ企業5者の供給数はいずれも0、利潤も0です。
kの値の意味とは、クールノー的行動に換算して何者に相当するのかと言う意味です。そして、その値が－∞から＋∞まで任意の実数と採れるのです。－0.3とか1.85とか自由に実数値を採れます。例えば、企業02が1.2としますと、企業01の主導としての最大化条件は2.2となります。例えば、k01＝2.19とかk01＝2.21では利潤はk01＝2.2に比し減少し、k01＝2.2が企業01にとっての主導としての最大化条件となります。
ゆき：ここが現代数学を超越してしまっているので、理解するのが厄介なポイントですね。正の整数倍は理解しやすいですが、0.3倍とかの小数や負の数値になると頭がこんがらがっちゃいました。おまけに、例えば、一方が0.3で他方が0.7とかで計1になると、現代数学における微分（偏微分）の解に似たものとなり、両者を併せた最大(極大)化条件が得られたりするのですから。摩訶不思議です。
時駆老人さん：そうですね。でもこの超・現代数学を使って初めて、50年前に作られた隅谷・長島理論のモデル化が可能となるのです。
隅谷・長島理論では、需要(利潤)関数が線から曲面に拡張され、且つ、ダイナミックな動きをしますから、現代数学ではモデル化はできそうにありません。
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求む！反論
果たして、このご老人はゆきを揶揄っているだけなのでしょうか？それともほんとにタイムトラベルして未来で勉強してきたのでしょうか？その答えはこのご老人の理論が現代のものなのか、それとも本当に未来のものなのかどうかに掛かっていると思います。論点を「理論が未来のものなのか、それとも現代のものなのか」に絞りたいと思います。
求む反論：
この老人の理論を未来ではなく現代のものだと立証できますか？例えば、あの利潤フロンティアの方程式が現代数学で導けるのかなど。
